ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.
Вынужденными колебаниями называют такие колебания, которые вызываются действием на систему внешних сил, периодически изменяющихся с течением времени. В случае электромагнитных колебаний такой внешней силой является периодически изменяющаяся э.д.с. источника тока.
Отличительные особенности вынужденных колебаний: вынужденные колебания - незатухающие колебания; частота вынужденных колебаний равна частоте внешнего периодического воздействия на колебательную систему, т.е., в данном случае, равна частоте изменения э.д.с. источника тока.
В цепи генератора эквивалентный вход с имитированным доплеровским сдвигом подается через антенну, подключенную к схеме согласования импеданса, которая подключается к выбранному порту транзистора. Для других терминалов фиктивные нагрузки были соединены с цепями согласования импеданса, как показано на рисунке 8.
Чтобы избежать излишне сложного анализа схемы, мы определяем параметры как список ниже. Гомодинное обнаружение ближнего доплеровского радиолокатора с использованием модели вынужденных осцилляторов. Авторы не заявляют никаких конкурирующих финансовых интересов.
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты изменения э.д.с. источника тока. Для вынужденных колебаний характерно явление электрического резонанса, при котором амплитуда вынужденных колебаний становится максимальной. Это физическое явление наблюдается при совпадении частоты изменения э.д.с. источника тока с собственной частотой колебаний данного контура, т.е.:
где: i - мгновенное значение тока, т.е. его значение в момент времени t = 0;
J0 - амплитудное или максимальное значение силы тока;
w - частота изменения тока, численно равная частоте изменения э.д.с. источника тока.
Мгновенным или амплитудным значениями тока и напряжения на практике пользоваться неудобно. Амперметры и вольтметры в цепи переменного тока измеряют так называемые действующие или эффективные значения переменного тока, которые связаны с амплитудными значениями тока по формулам:
Действующими значениями силы тока и напряжения переменного тока называют значения этих величин для такого постоянного тока, который на том же активном сопротивлении выделяет за время, равное периоду Т переменного тока, такое же количество теплоты, как и данный переменный ток.
Источником переменного тока является генератор переменного тока, физический принцип действия которого основан на равномерном вращении с угловой скоростью w плоской рамки площадью S, состоящей из N витков, в однородном магнитном поле с индукцией В. При этом рамку пронизывает переменный магнитный поток:
где: Ф0 - максимальное значение магнитного потока;
a - угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции В;
Согласно закону электромагнитной индукции, в рамке будет возбуждаться мгновенное значение э.д.с., изменяющееся по закону:
где: e - мгновенное значение э.д.с.;
e0 - амплитудное значение э.д.с.;
w - угловая скорость вращения рамки.
В общем случае цепь переменного тока представляет собой колебательный контур:
Напряжение на зажимах источника тока U меняется по гармоническому закону с частотой изменения э.д.с. генератора переменного тока.
Существует принципиальное отличие электрического сопротивления цепи переменного тока по сравнению с электрическим сопротивлением цепи постоянного тока, связанное с преобразованиями электрической энергии в другие виды энергии.
Устройства, в которых электрическая энергия полностью и необратимо преобразуется в другие виды энергии, называют активными нагрузками, а электрические сопротивления этих устройств - активными сопротивлениями. В цепи постоянного тока существуют только активные нагрузки.
Устройства, в которых не происходит необратимого превращения электрической энергии в другие виды энергии, называют реактивными нагрузками, а их сопротивления - реактивными сопротивлениями. Реактивные сопротивления в цепи переменного тока имеют конденсатор и катушка индуктивности, которые соответственно называют емкостным xc сопротивлением и индуктивным сопротивлением xL. При этом конденсатор имеет только реактивное сопротивление, а катушка индуктивности, помимо реактивного сопротивления, обладает еще активным сопротивлением. Реактивные сопротивления вычисляются по формулам:
где: С - емкость конденсатора;
L - индуктивность катушки;
w - частота изменения э.д.с. источника тока.
Если в цепи переменного тока реактивной нагрузки нет или ее сопротивление пренебрежимо мало по сравнению с активным сопротивлением цепи, то колебания силы тока совпадают по фазе с колебаниями напряжения и происходят с частотой и фазой колебаний э.д.с. источника тока:
Цепь переменного тока, которая не содержит конденсатора и активное сопротивление которой ничтожно мало по сравнению с индуктивным сопротивлением, называется цепью переменного тока с индуктивным сопротивлением. В такой цепи колебания напряжения на катушке опережает колебания силы тока на π/2, т.е.:
. (14)
Цепь переменного тока, которая не имеет индуктивного сопротивления и активное сопротивление которой пренебрежимо мало по сравнению с емкостным сопротивлением, называется цепью переменного тока с емкостным сопротивлением. В такой цепи колебания силы тока опережают колебания напряжения на π/2:
Для амплитудного и действующего значений переменного тока справедлив закон Ома:
, (19)
где величина R называется полным сопротивлением цепи переменного тока.
Количество теплоты Q, выделяющееся на активном сопротивлении, вычисляется по закону Джоуля-Ленца:
. (20)
Величина преобразованной электрической энергии в другие виды энергии определяется мощностью переменного тока. Так как - сила тока и напряжение - переменные величины, то и мощность в цепи переменного тока является переменной величиной. Поэтому имеет смысл говорить только о мгновенном значении мощности P=I2 Ra , или о среднем значении мощности период Т изменения переменного тока, вычисляемой по формуле:
. (21)
Мощность называют активной мощностью. Множитель cosφ называют коэффициентом мощности, где: j - сдвиг по фазе между колебаниями силы тока и напряжения. Коэффициент мощности вычисляется по формуле:
. (22)
Для преобразования переменного тока одного напряжения в переменный ток другого напряжения при той же частоте используют устройство, называемое трансформатором. Трансформатор представляет собой систему, состоящую из двух обмоток (катушек), связанных одним сердечником. Если первоначально катушка содержит N1 витков, а вторичная - N2 витков, то коэффициент трансформации k вычисляется по формуле:
где e1 и e2 - э.д.с. индукции в первичной и вторичной обмотках.
Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями .
Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими . Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.
Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω 0 .
Если частота ω 0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника .
Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δt . Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.
Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока .
Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть RLC -цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):
Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:
Величина - это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности .
Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде
|
u R + u C + u L = e (t ) = 0 cos ωt , |
где u R (t ), u C (t ) и u L (t ) - мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами U R , U C и U L . При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм .
На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).
Длины векторов на диаграмме равны амплитудам A и B колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ 1 и φ 2 . Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом Δφ = φ 1 - φ 2 . Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов:
Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.
Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением R , конденсатору с емкостью C и катушки с индуктивностью L . Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.
1. Резистор в цепи переменного тока
Здесь через I R обозначена амплитуда тока, протекающего через резистор. Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением
|
RI R = U R . |
Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю.
Физическая величина R называется активным сопротивлением резистора .
2. Конденсатор в цепи переменного тока
I C и напряжения U C :
Ток опережает по фазе напряжение на угол
Физическая величина называется емкостным сопротивлением конденсатора .
3. Катушка в цепи переменного тока
Соотношение между амплитудами тока I L и напряжения U L :
|
ω L I L = U L . |
Ток отстает по фазе от напряжения на угол
Физическая величина X L = ωL называется индуктивным сопротивлением катушки .
Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного RLC -контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через I 0 . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного RLC -контура изображена на рис. 2.3.2.
Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда или 
В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.
Из рисунка видно, что
откуда следует
Из выражения для I 0 видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии
Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω 0 электрической цепи называется электрическим резонансом . При резонансе
Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной RLC -цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R , L и C (так называемый резонанс токов ).
При последовательном резонансе (ω = ω 0) амплитуды U C и U L напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:
В 2.2 было введено понятие добротности RLC -контура:
Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.
Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды U C напряжения на конденсаторе к амплитуде напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q . Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми .
Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.